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斐波那契博弈

游戏规则

有一堆数量为n的石子，游戏双方轮流取石子，满足以下条件：

约定取走最后一个石子的人为赢家。

必败态

当n为斐波那契数时，先手必败。

证明

齐肯多夫(zeckendorf)定理：任何正整数都可以表示成若干个不连续的斐波那契数（不包括第一个斐波那契数）之和。

例如，n=54可以写成：n=2+5+13+34。

• 先手A取2个，后手B在1~4范围内取石子。由于B必须至少取1个，最多取4个，但5已经被A取走了，因此B只能取5的最后一个。
• 接下来，A可以拿走13的最后一个，接着拿走34的最后一个，这样A就赢了。

反之，如果n是斐波那契数，A无法阻止B按照斐波那契数规则取走最后一个石子，从而让B获胜。

尼姆博弈

游戏规则

有三堆石子，数量分别为(a, b, c)。两个人轮流从某一堆中取任意多的石子，规定每次至少取一个，多者不限。最后取光者得胜。

必败态

如果三堆石子数量的异或（a ^ b ^ c）为0，则先手必败；否则先手必胜。

证明

略述。

代码

for(int i = 1; i <= n; i++) {    sum ^= ans;}if(sum == 0) {    cout << "后手必胜";}

公平组合博弈

公平组合博弈属于Impartial Combinatorial Games，属于Nim游戏的一种变种。其核心是通过数学模型确定必败态和必胜态。

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